时间驱动:神经元

本教程作者: fangwei123456

本节教程主要关注 spikingjelly.clock_driven.neuron,介绍脉冲神经元,和时间驱动的仿真方法。

脉冲神经元模型

spikingjelly 中,我们约定,只能输出脉冲,即0或1的神经元,都可以称之为“脉冲神经元”。使用脉冲神经元的网络,进而也可以称之为脉冲神经元网络(Spiking Neural Networks, SNNs)。 spikingjelly.clock_driven.neuron 中定义了各种常见的脉冲神经元模型,我们以 spikingjelly.clock_driven.neuron.LIFNode 为例来介绍脉冲神经元。

首先导入相关的模块:

import torch
import torch.nn as nn
import numpy as np
from spikingjelly.clock_driven import neuron
from spikingjelly import visualizing
from matplotlib import pyplot as plt

新建一个LIF神经元层:

lif = neuron.LIFNode(tau=100.)

LIF神经元层有一些构造参数,在API文档中对这些参数有详细的解释:

  • tau – 膜电位时间常数

  • v_threshold – 神经元的阈值电压

  • v_reset – 神经元的重置电压。如果不为 None,当神经元释放脉冲后,电压会被重置为 v_reset;如果设置为 None,则电压会被减去 v_threshold

  • surrogate_function – 反向传播时用来计算脉冲函数梯度的替代函数

其中 surrogate_function 参数,在前向传播时的行为与阶跃函数完全相同;我们暂时不会用到反向传播,因此可以先不关心反向传播。

你可能会好奇这一层神经元的数量是多少。对于 spikingjelly.clock_driven.neuron.LIFNode 中的绝大多数神经元层,神经元的数量是在初始化或调用 reset() 函数重新初始化后,根据第一次接收的输入的 shape 自动决定的。

与RNN中的神经元非常类似,脉冲神经元也是有状态的,或者说是有记忆。脉冲神经元的状态变量,一般是它的膜电位 \(V[t]\)。因此,spikingjelly.clock_driven.neuron 中的神经元,都有成员变量 v。可以打印出刚才新建的LIF神经元层的膜电位:

print(lif.v)
# 0.0

可以发现,现在的 lif.v0.0,因为我们还没有给与它任何输入。我们给与几个不同的输入,观察神经元的电压的 shape,可以发现它与输入的 数量是一致的:

x = torch.rand(size=[2, 3])
lif(x)
print('x.shape', x.shape, 'lif.v.shape', lif.v.shape)
# x.shape torch.Size([2, 3]) lif.v.shape torch.Size([2, 3])
lif.reset()

x = torch.rand(size=[4, 5, 6])
lif(x)
print('x.shape', x.shape, 'lif.v.shape', lif.v.shape)
# x.shape torch.Size([4, 5, 6]) lif.v.shape torch.Size([4, 5, 6])

\(V[t]\) 和输入 \(X[t]\) 的关系是什么样的?在脉冲神经元中,不仅取决于当前时刻的输入 \(X[t]\),还取决于它在上一个时刻末的膜电位 \(V[t-1]\)

通常使用阈下(指的是膜电位不超过阈值电压 V_{threshold} 时)神经动态方程 \(\frac{\mathrm{d}V(t)}{\mathrm{d}t} = f(V(t), X(t))\) 描述连续时间的脉冲神经元的充电过程,例如对于LIF神经元,充电方程为:

\[\tau_{m} \frac{\mathrm{d}V(t)}{\mathrm{d}t} = -(V(t) - V_{reset}) + X(t)\]

其中 \(\tau_{m}\) 是膜电位时间常数,\(V_{reset}\) 是重置电压。对于这样的微分方程,由于 \(X(t)\) 并不是常量,因此难以求出显示的解析解。

spikingjelly.clock_driven.neuron 中的神经元,使用离散的差分方程来近似连续的微分方程。在差分方程的视角下,LIF神经元的充电方程为:

\[\tau_{m} (V[t] - V[t-1]) = -(V[t-1]- V_{reset}) + X[t]\]

因此可以得到 \(V[t]\) 的表达式为

\[V[t] = f(V[t-1], X[t]) = V[t-1] + \frac{1}{\tau_{m}}(-(V[t - 1] - V_{reset}) + X[t])\]

可以在 spikingjelly.clock_driven.neuron.LIFNode.neuronal_charge 中找到如下所示的代码:

def neuronal_charge(self, x: torch.Tensor):
    if self.v_reset is None:
        self.v += (x - self.v) / self.tau

    else:
        if isinstance(self.v_reset, float) and self.v_reset == 0.:
            self.v += (x - self.v) / self.tau
        else:
            self.v += (x - (self.v - self.v_reset)) / self.tau

不同的神经元,充电方程不尽相同。但膜电位超过阈值电压后,释放脉冲,以及释放脉冲后,膜电位的重置都是相同的。因此它们全部继承自 spikingjelly.clock_driven.neuron.BaseNode,共享相同的放电、重置方程。可以在 spikingjelly.clock_driven.neuron.BaseNode.neuronal_fire 中找到释放脉冲的代码:

def neuronal_fire(self):
    self.spike = self.surrogate_function(self.v - self.v_threshold)

surrogate_function() 在前向传播时是阶跃函数,只要输入大于或等于0,就会返回1,否则会返回0。我们将这种元素仅为0或1的 tensor 视为脉冲。

释放脉冲消耗了神经元之前积累的电荷,因此膜电位会有一个瞬间的降低,即膜电位的重置。在SNN中,对膜电位重置的实现,有2种方式:

  1. Hard方式:释放脉冲后,膜电位直接被设置成重置电压:\(V[t] = V_{reset}\)

  2. Soft方式:释放脉冲后,膜电位减去阈值电压:\(V[t] = V[t] - V_{threshold}\)

可以发现,对于使用Soft方式的神经元,并不需要重置电压 \(V_{reset}\) 这个变量。spikingjelly.clock_driven.neuron 中的神经元,在构造函数的参数之一 v_reset,默认为 1.0 ,表示神经元使用Hard方式;若设置为 None,则会使用Soft方式。在 spikingjelly.clock_driven.neuron.BaseNode.neuronal_fire.neuronal_reset 中可以找到膜电位重置的代码:

def neuronal_reset(self):
    # ...
    if self.v_reset is None:
        self.v = self.v - self.spike * self.v_threshold
    else:
        self.v = (1. - self.spike) * self.v + self.spike * self.v_reset

描述离散脉冲神经元的三个方程

至此,我们可以用充电、放电、重置,这3个离散方程来描述任意的离散脉冲神经元。充电、放电方程为:

\[\begin{split}H[t] & = f(V[t-1], X[t]) \\ S[t] & = g(H[t] - V_{threshold}) = \Theta(H[t] - V_{threshold})\end{split}\]

其中 \(\Theta(x)\) 即为构造函数参数中的 surrogate_function(),是一个阶跃函数:

\[\begin{split}\Theta(x) = \begin{cases} 1, & x \geq 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases}\end{split}\]

Hard方式重置方程为:

\[V[t] = H[t] \cdot (1 - S[t]) + V_{reset} \cdot S[t]\]

Soft方式重置方程为:

\[V[t] = H[t] - V_{threshold} \cdot S[t]\]

其中 \(V[t]\) 是神经元的膜电位;\(X[t]\) 是外源输入,例如电压增量;为了避免混淆,我们使用 \(H[t]\) 表示神经元充电后、释放脉冲前的膜电位;\(V[t]\) 是神经元释放脉冲后的膜电位;\(f(V[t-1], X[t])\) 是神经元的状态更新方程,不同的神经元,区别就在于更新方程不同。

时间驱动的仿真方式

spikingjelly.clock_driven 使用时间驱动的方式,对SNN逐步进行仿真。

接下来,我们将逐步给与神经元输入,并查看它的膜电位和输出脉冲。

现在让我们给与LIF神经元层持续的输入,并画出其放电后的膜电位和输出脉冲:

lif.reset()
x = torch.as_tensor([2.])
T = 150
s_list = []
v_list = []
for t in range(T):
    s_list.append(lif(x))
    v_list.append(lif.v)

visualizing.plot_one_neuron_v_s(np.asarray(v_list), np.asarray(s_list), v_threshold=lif.v_threshold, v_reset=lif.v_reset,
                                dpi=200)
plt.show()

我们给与的输入 shape=[1],因此这个LIF神经元层只有1个神经元。它的膜电位和输出脉冲随着时间变化情况如下:

../_images/0.svg

下面我们将神经元层重置,并给与 shape=[32] 的输入,查看这32个神经元的膜电位和输出脉冲:

lif.reset()
x = torch.rand(size=[32]) * 4
T = 50
s_list = []
v_list = []
for t in range(T):
    s_list.append(lif(x).unsqueeze(0))
    v_list.append(lif.v.unsqueeze(0))

s_list = torch.cat(s_list)
v_list = torch.cat(v_list)

visualizing.plot_2d_heatmap(array=np.asarray(v_list), title='Membrane Potentials', xlabel='Simulating Step',
                            ylabel='Neuron Index', int_x_ticks=True, x_max=T, dpi=200)
visualizing.plot_1d_spikes(spikes=np.asarray(s_list), title='Membrane Potentials', xlabel='Simulating Step',
                           ylabel='Neuron Index', dpi=200)
plt.show()

结果如下:

../_images/1.svg ../_images/2.svg